Question

7．数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n+2．
（I）求证：{a_n+2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）设b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+2}$，求S_n=b₁+b₂+…+b_n，并证明：?n∈N^*，$\frac{1}{5}$≤S_n＜$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把原数列递推式变形，可得{a_n+2}是等比数列，求出其通项公式后可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入${b_n}=\frac{n}{{{a_n}+2}}$，整理后利用错位相减法求S_n=b₁+b₂+…+b_n，然后放缩得答案．

解答 （Ⅰ）证明：由a_n+1=2a_n+2，得a_n+1+2=2（a_n+2），
∵a₁+2=5≠0，∴$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}=2$，
∴{a_n+2}是首项为5，公比为2的等比数列，
则${a}_{n}+2=5•{2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=5•{2}^{n-1}-2$；
（Ⅱ）解：${b_n}=\frac{n}{{5×{2^{n-1}}}}$，
∴${S_n}=\frac{1}{5}（{\frac{1}{2^0}+\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}}）$------①
$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{5}（{\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}}）$------②
①-②得：${S_n}=\frac{2}{5}（{\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}}）=\frac{2}{5}（{\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{2^n}}）=\frac{2}{5}（{2-\frac{n+2}{2^n}}）$．
∴${S_n}=\frac{4}{5}-\frac{1}{5}×\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}＜\frac{4}{5}$；
∵${S_{n+1}}-{S_n}=\frac{2}{5}（{\frac{n+2}{2^n}-\frac{n+3}{{{2^{n+1}}}}}）=\frac{2}{5}×\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}＞0$，
∴{S_n}单调递增，则${S_n}≥{S_1}=\frac{1}{5}$，
∴$?n∈{N^*}，\frac{1}{5}≤{S_n}＜\frac{4}{5}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，考查放缩法证明数列不等式，属中档题．