Question

19．设数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}满足b_n=n•a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n=2ⁿ⁺¹-2，当n=1时，a₁=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）b_n=n•a_n=n•2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴当n=1时，a₁=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
当n=1时上式也成立，
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=n•a_n=n•2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．