Question

14．已知数列{a_n}的通项公式是a_n=n•2^n-1，b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 由a_n=n•2^n-1，b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，可得b_n=$\frac{（n+2）•{2}^{n+1}}{n•{2}^{n-1}•（n+1）•{2}^{n}}$=$4[\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}]$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵a_n=n•2^n-1，b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，
∴b_n=$\frac{（n+2）•{2}^{n+1}}{n•{2}^{n-1}•（n+1）•{2}^{n}}$=$4[\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}]$．
∴数列{b_n}的前n项和=4$[（\frac{1}{1×{2}^{0}}-\frac{1}{2×{2}^{1}}）$+$（\frac{1}{2×{2}^{1}}-\frac{1}{3×{2}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}）]$
=4$（1-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}）$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．