Question

2．已知p：f（x）=x²-2x+4＞m（x∈R）恒成立，q：f（x）=log_（5m-2）x在区间（0，+∞）上为增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先将命题p，q化简，然后由p或q为真，p且q为假，则命题p，q一真一假，分情况讨论即可．

解答 解：命题p：x∈R，f（x）=x²-2x+4＞m恒成立；
则x∈R时，f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，若命题p成立，则m＜3；
命题q：f（x）=log_5m-2x上的单调增函数．则5m-2＞1，解得m＞$\frac{3}{5}$．
由条件p或q为真，p且q为假，则命题p，q一真一假，
①若p真q假，则m＜3且m≤$\frac{3}{5}$，则m≤$\frac{3}{5}$，
又5m-2为指数函数底数，5m-2＞0，且5m-2≠1即m＞$\frac{2}{5}$且m≠$\frac{3}{5}$，
则此时m的取值范围是$\frac{2}{5}$＜m＜$\frac{3}{5}$，
②若p假q真，则m≥3且m＞$\frac{3}{5}$，则m≥3，
综上，m的取值范围是（-∞，$\frac{3}{5}$]∪[3，+∞）．

点评 易错点容易忽略m为指数函数底数的要求．