Question

17．若x₀∈R满足f（x₀）=x₀，则称x₀为f（x）的不动点．
（1）若函数f（x）=x²+ax+a没有不动点，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）=-lnx+3的不动点x₀∈[n，n+1]，n∈Z，求n的值；
（3）若函数f（x）=log₂（4^x+a•2^x+a+1）有不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不动点实际上就是方程f（x₀）=x₀的实数根．二次函数f（x）=x²+ax+a没有不动点，是指方程x=x²+ax+a无实根．即方程x=x²+ax+a无实根，然后根据根的判别式△＜0解答即可．
（2）先转化为两个简单函数判断交点所在区间的大致范围，再由零点判定定理确定即可．
（3）函数f（x）=log₂（4^x+a•2^x+a+1）有不动点，转化为关于2^x的方程4^x+（a-1）•2^x+a+1=0，有正解，得到不等式求解即可．

解答 解：（1）根据题意，得x=x²+ax+a无实数根，
即x²+（a-1）x+a=0无实数根，
∴△=（a-1）²-4a＜0，
解得：3-$2\sqrt{2}$＜a＜3+2$\sqrt{2}$；
故答案为：（3-$2\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$）．
（2）解：函数f（x）=-lnx+3的不动点x₀∈[n，n+1]，n∈Z，即lnx+x-3=0
∴lnx=3-x，令g（x）=lnx，h（x）=3-x在同一坐标系画出图象可得
由图可知x₀＞1，令f（x）=lnx+x-3，
∵f（1）f（2）=-2（ln2-2）＞0，
f（2）f（3）=（ln2-2）ln3＜0，
f（3）f（4）=ln3（ln4+1）＞0，
可知n=2，
（3）函数f（x）=log₂（4^x+a•2^x+a+1）有不动点，可得log₂（4^x+a•2^x+a+1）=x，
转化为关于2^x的方程4^x+（a-1）•2^x+a+1=0有正根，令t=2^x．可得t²+（a-1）t+a+1=0，
$\left\{\begin{array}{l}△={（a-1）}^{2}-4a-4≥0\\ a-1＜0\end{array}\right.$或a+1＜0，
解得：a＜1．

点评 本题主要考查函数零点所在区间的求法--图象法和零点判定定理．将函数的零点问题转化为两个函数交点的问题是常用的手段．二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．