Question

15．某地植被面积 x（公顷）与当地气温下降的度数y（°C）之间有如下的对应数据：

x（公顷）	20	40	50	60	80
y（°C）	3	4	4	4	5

（1）请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）根据（1）中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少℃？
（附：回归方程系数公式$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）根据表中数据，计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归方程的系数$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，写出线性回归方程；
（2）利用回归直线方程求出x=200时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）根据表中数据，计算
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（20+40+50+60+80）=50，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（3+4+4+4+5）=4，
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=20×3+40×4+50×4+60×4+80×5=1060，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=20²+40²+50²+60²+80²=14500；
则回归方程系数为
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1060-5×50×4}{14500-5{×50}^{2}}$=0.03，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=4-0.03×50=2.5，
所以y关于x的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.03x+2.5；
（2）由（1）得：当x=200时，$\stackrel{∧}{y}$=0.03×200+2.5=8.5，
即如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是8.5℃．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题目．