Question

已知曲线C_n：y=nx²，点P_n（x_n，y_n）（x_n>0，y_n>0）是曲线C_n上的点（n=l，2，…）。
（I）试写出曲线C_n在点P_n处的切线l_n的方程，并求出l_n与y轴的交点Q_n的坐标；
（Ⅱ）若原点O（0，0）到l_n的距离与线段P_nQ_n的长度之比取得最大值，试求点P_n的坐标（x_n，y_n）； （Ⅲ）设m与k为两个给定的不同的正整数，x_n与y_n是满足（Ⅱ）中条件的点P_n的坐标，
证明：（s=1，2，…）。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵（nx²）'=2nx
∴曲线C_n过点P_n（x_n，y_n）的切线l_n的方程为y-nx²=2nx_n（x-x_n）
即2nx_nx-y-nx_n²=0
令x=0，得y=-nx²
∴Q_n的坐标为（0，-nx²）；
（Ⅱ）原点D（0，0）到l_n的距离为



即时，取的最大值
故所求点P_n的坐标为；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，于是




现证明


故问题得证。