Question

已知曲线C_n：y=nx²，点P_n（x_n，y_n）（x_n＞0，y_n＞0）是曲线C_n上的点（n=1，2，…），
（1）试写出曲线C_n在P_n点处的切线l_n为的方程，并求出l_n与y轴的交点Q_n的坐标；
（2）若原点O（0，0）到l_n的距离与线段P_nQ_n的长度之比取得最大值，试求点的坐标P_n（x_n，y_n）

Answer 1

分析：（1）由题意知y′=2nx，由此可知切线l_n的方程：y-y_n=2nx_n（x-x_n），令n=0得Q_n（0，-nx_n²）．
（2）由题意知

d

|pnQn |

=

nxn

1+4n2xn2

=

1

1 nxn +4nxn

≤

1

4

．由此及彼可推导出p的坐标为(

1

2n

，

1

4n

)．

解答：解：（1）∵y′=2nx，
∴k=2nx_n，切线l_m的方程：y-y_n=2nx_n（x-x_n），
令x=0得y=-2nx_n²+y_n=-nx_n²，即Q_n（0，-nx_n²）．
（2）切线方程可写成：2nx_nx-y-2nx_n²+y_n=0．
|PnQn|=

xn2+(2nxn2)2

 =xn

1+4n2xn2

，

d

|pnQn |

=

nxn

1+4n2xn2

=

1

1 nxn +4nxn

≤

1

4

．
当且仅当

1

nxn

=4nxn，即xn=

1

2n

时，取等号，此时y_n=nx_n²，点P的坐标为(

1

2n

，

1

4n

)．

点评：本题以数列知识为载体，综合考查了导数知识和点到直线的距离公式，体现了出题者的智慧．