【题目】已知为抛物线
的焦点,过点
的直线交抛物线于
,
两点,
为坐标原点.
(1)当抛物线过点
时,求抛物线
的方程;
(2)证明:是定值.
【答案】(1)y2=4x(2)证明见解析
【解析】
(1)将点代入抛物线方程,即可求得
的值,求得抛物线方程;
(2)分类讨论,当直线的斜率存在时,设直线的方程,代入抛物线方程,根据韦达定理及向量的坐标运算,即可证明
是定值.
解:(1)因为抛物线过点
,
所以,
,
所以抛物线的方程
;
(2)证明:当直线斜率存在时,
,设直线
的方程为
,则
,
将(1)代入(2)得,,化简得
,
设,
的坐标分别为
,
,则
,
因为点,
都在抛物线
上,所以
,
,
所以,所以
,
因为点,
分布在
轴的两侧,所以
,所以
,
所以,
,所以
,是定值.
当直线无斜率时,
,设
,
的坐标分别为
,
,
,
,则
,代入抛物线方程
得,
,
,
所以,因为点
,
分布在
轴的两侧,所以
,所以
,
所以,
,所以
,是定值.
综上,,是定值.
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【题目】如图,∠C=,AC=BC,M、N分别是BC、AB的中点,将△BMN沿直线MN折起,使二面角B′﹣MN﹣B的大小为
,则B'N与平面ABC所成角的正切值是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线,它由德国机械工程专家,机构运动学家勒洛首先发现,其作法是:以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形,现在勒洛三角形中随机取一点,则此点取自正三角形外的概率为( )
A.B.
C.D.
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【题目】年以来精准扶贫政策的落实,使我国扶贫工作有了新进展,贫困发生率由
年底的
下降到
年底的
,创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例,
年至
年我国贫困发生率的数据如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
贫困发生率 | 10.2 | 8.5 | 7.2 | 5.7 | 4.5 | 3.1 | 1.4 |
(1)从表中所给的个贫困发生率数据中任选两个,求两个都低于
的概率;
(2)设年份代码,利用线性回归方程,分析
span>年至
年贫困发生率
与年份代码
的相关情况,并预测
年贫困发生率.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
(
的值保留到小数点后三位)
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【题目】已知函数.
(1)若函数与
的图象上存在关于原点对称的点,求实数
的取值范围;
(2)设,已知
在
上存在两个极值点
,且
,求证:
(其中
为自然对数的底数).
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【题目】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面ACM;
(2)证明:AD⊥平面PAC.
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【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=1,b1=﹣1,a2-b2=2.
(1)若a3-b3=6,求{bn}的通项公式
(2)若T3=﹣13,求S5.
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