【题目】如图的空间几何体中,四边形为边长为2的正方形,
平面
,
,
,且
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)分别取的中点
,
,连接
,
,
,首先证明出四边形
为平行四边形得到
,接着通过证明
面
来得到
面
,通过面面垂直判定定理即可得结果;
(2)如图所示:取中点
,记
,连接
,
,利用线面平行性质定理证出两面的交线与
平行,然后再证出
,可得
为平面
与平面ABCD所成二面角的平面角,在
中即可求得答案.
(1)如图所示:
分别取的中点
,
,连接
,
,
,
∵,
,
,
,
∴,
且
,
,
∴四边形为平行四边形,∴
,
由于,
为
的中点,四边形
为边长为2的正方形
∴,
又∵平面
,∴
,
又∵,∴
面
,
∴面
,
∴平面平面
.
(2)如图所示:取中点
,记
,连接
,
,
由(1)知,,∴
面ABCD,
记面面
,则
易得,即
,
又∵平面
,∴
,
又∵,
,
∴面
,∴
,即
为直角三角形,
同理为直角三角形,
由于,
,
由,则
,∴
,
∴,即
,
∴则为平面
与平面ABCD所成二面角的平面角,
由四边形为边长为2的正方形得
,
∴,∴
,
即平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.
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【题目】关于函数,下列说法正确的是______(填上所有正确命题序号).(1)
是
的极大值点 ;(2)函数
有且只有1个零点;(3)存在正实数
,使得
恒成立 ;(4)对任意两个正实数
,且
,若
,则
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
,
.
(1)当时,求函数
的极值;
(2)若在区间上存在不相等的实数
,使得
成立,求
的取值范围;
(3)设的图象为
,
的图象为
,若直线
与
分别交于
,问是否存在整数
,使
在
处的切线与
在
处的切线互相平行,若存在,求出
的所有值,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况,从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名,并绘制如图所示频率分布直方图,已知中间三组的人数可构成等差数列.
(1)求的值;
(2)分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现,消费金额不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根据统计数据完成下列列联表,并判断是否有
的把握认为消费金额与性别有关?
(3)分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄
进一步分析,发现他们线性相关,得到回归方程
.已知100名使用者的平均年龄为38岁,试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.(同一组数据用该区间的中点值代替)
列联表
男性 | 女性 | 合计 | |
消费金额 | |||
消费金额 | |||
合计 |
临界值表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中
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【题目】从装有个不同小球的口袋中取出
个小球(
),共有
种取法。在这
种取法中,可以视作分为两类:第一类是某指定的小球未被取到,共有
种取法;第二类是某指定的小球被取到,共有
种取法。显然
,即有等式:
成立。试根据上述想法,下面式子
(其中
)应等于 ( )
A. B.
C.
D.
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【题目】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,下列判断正确的是( )
A.A1C⊥面AB1D1B.A1C⊥面AB1C1D
C.A1B⊥面AB1D1D.A1B⊥AD1
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【题目】某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下:
微信控 | 非微信控 | 合计 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 56 | 44 | 100 |
(1)根据以上数据,能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关?
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数;
(3)从(2)中抽取的5位女性中,再随机抽取3人赠送礼品,试求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.
参考公式: ,其中
.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的方程为
,过点
的直线
的参数方程为
(
为参数).
(Ⅰ)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线
交于
、
两点,求
的值,并求定点
到
,
两点的距离之积.
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