Question

2．已知集合M={（x，y）|y=0}，N={（x，y）|y=ax²+2bx+c，a≠0}，L={（x，y）|y=dx²+2ex+f，d≠0}，且a，b，c，d，e，f∈R，2be=ac+df．
（1）求M∩N为单元素集的条件；
（2）求证：（M∩N）∪（M∩L）≠∅．

Answer 1

分析 （1）M∩N为单元素集即直线y=0与函数y=ax²+2bx+c的图象只有一个交点，进而得到答案；
（2）若（M∩N）∪（M∩L）=∅．则直线y=0与函数y=ax²+2bx+c和y=dx²+2ex+f的图象均无交点，则4b²-4ac＜0且4e²-4df＜0，结合已知由不等式的性质和基本不等式，得到矛盾，进而得到（M∩N）∪（M∩L）≠∅．

解答 解：（1）∵集合M={（x，y）|y=0}，N={（x，y）|y=ax²+2bx+c，a≠0}，
若M∩N为单元素集，
即直线y=0与函数y=ax²+2bx+c的图象只有一个交点，
即函数y=ax²+2bx+c的顶点的纵坐标$\frac{4ac-4{b}^{2}}{4a}$=0，
即b²=ac，
证明：（2）若（M∩N）∪（M∩L）=∅．
则直线y=0与函数y=ax²+2bx+c和y=dx²+2ex+f的图象均无交点，
则4b²-4ac＜0且4e²-4df＜0，
即b²＜ac且e²＜df，
则b²+e²＜ac+df=2be，
这与b²+e²≥2be矛盾．
故假设不成立，
故（M∩N）∪（M∩L）≠∅．

点评 本题考查的知识点是集合的交集，并集和补集运算，二次函数的图象和性质，是函数与集合的综合应用，难度中档．