Question

11．若在定义域内存在实数x₀使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立则称函数f（x）有“溜点x₀”
（1）若函数$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}+m{x^2}$在（0，1）上有“溜点”，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）=lg（$\frac{a}{{x}^{2}+1}$）在（0，1）上有“溜点”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}+m{x^2}$在（0，1）上有“溜点”，利用定义，推出$4mx-1={（\frac{1}{2}）^x}$在（0，1）上有解，转化h（x）=4mx-1与$g（x）={（\frac{1}{2}）^x}$的图象在（0，1）上有交点，然后求解即可．
（2）推出a＞0，$lg[\frac{a}{{{{（x+1）}^2}+1}}]=lg（\frac{a}{{{x^2}+1}}）+lg（\frac{a}{2}）$在（0，1）上有解，设$y=\frac{2x+1}{{{x^2}+2x+2}}$，令t=2x+1，由x∈（0，1）则t∈（1，3），利用基本不等式求解$\frac{1}{2}＜\frac{2x+1}{{{x^2}+2x+2}}≤\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，得到实数a的取值范围．

解答 （本题满分12分）
解：（1）$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}+m{x^2}$在（0，1）上有“溜点”，
即f（x+1）=f（x）+f（1）在（0，1）上有解，
即${（\frac{1}{2}）^{x+1}}+m{（x+1）^2}={（\frac{1}{2}）^x}+m{x^2}+\frac{1}{2}+m$在（0，1）上有解，
整理得$4mx-1={（\frac{1}{2}）^x}$在（0，1）上有解，
从而h（x）=4mx-1与$g（x）={（\frac{1}{2}）^x}$的图象在（0，1）上有交点，
故h（1）＞g（1），即$4m-1＞\frac{1}{2}$，得$m＞\frac{3}{8}$，
（2）由题已知a＞0，且$lg[\frac{a}{{{{（x+1）}^2}+1}}]=lg（\frac{a}{{{x^2}+1}}）+lg（\frac{a}{2}）$在（0，1）上有解，
整理得$a=\frac{{2（{x^2}+1）}}{{{x^2}+2x++2}}$，又$\frac{{2（{x^2}+1）}}{{{x^2}+2x+2}}=2（1-\frac{2x+1}{{{x^2}+2x+2}}）$．
设$y=\frac{2x+1}{{{x^2}+2x+2}}$，令t=2x+1，由x∈（0，1）则t∈（1，3）．
于是$y=\frac{4t}{{{t^2}+2t+5}}=\frac{4}{{t+\frac{5}{t}+2}}$$2\sqrt{5}+2≤t+\frac{5}{t}+2＜8$则$\frac{1}{2}＜\frac{2x+1}{{{x^2}+2x+2}}≤\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．
从而$3-\sqrt{5}≤\frac{{2（{x^2}+1）}}{{{x^2}+2x+2}}＜1$．
故实数a的取值范围是$[3-\sqrt{5}，1）$．

点评 本题考查函数与方程的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．