Question

若函数f（x）=log₂（2+x）+log₂（2-x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，判断函数f（x）的奇偶性．
（Ⅱ）若关于θ（θ∈R）的方程f（sinθ）=2，求θ．

Answer 1

解：（Ⅰ）要使函数f（x）=log₂（2+x）+log₂（2-x）的解析式有意义．
自变量x必须满足：

解得-2＜x＜2
∴函数f（x）=log₂（2+x）+log₂（2-x）的定义域为（-2，2）
又∵f（-x）=log₂（2-x）+log₂（2+x）=f（x）．
故函数f（x）=log₂（2+x）+log₂（2-x）为偶函数
（Ⅱ）∵f（sinθ）=log₂（2+sinθ）+log₂（2-sinθ）=log₂（4-sin²θ）．
∴方程f（sinθ）=2可化为4-sin²θ=4
即sin²θ=0，即sinθ=0
解得：θ=kπ（k∈Z）
分析：（I）根据指数函数的真数必须大于0，我们易构造使函数f（x）=log₂（2+x）+log₂（2-x）的解析式有意义的自变量x满足的不等式组，解不等式即可得到函数的定义域，再由函数奇偶性的定义，即可判断出函数f（x）的奇偶性．
（Ⅱ）利用对数的运算性质，我们易将方程f（sinθ）=2，转化为一个三角方程，解三角方程，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是对数函数的定义域，三角函数的恒等变换及化简求值，其中熟练掌握对数函数的性质及对数的运算法则是解答本题的关键．