Question

17．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{9π}{2}$
• B． $\frac{27π}{8}$
• C． 36π
• D． 8π

Answer 1

分析 由三视图可知：该几何体为三棱锥P-ABC，其中PA⊥底面ABC．由AC=CB=$\sqrt{2}$，AB=2，可得AC⊥CB，进而得到BC⊥CP．因此该几何体的外接球的球心为PB的中点．

解答 解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P-ABC，其中PA⊥底面ABC
由AC=CB=$\sqrt{2}$，AB=2，∴AC⊥CB．又PA⊥底面ABC，∴BC⊥CP．
因此该几何体的外接球的球心为PB的中点，
∴其半径R=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴外接球的表面积S=$4π×（\sqrt{2}）^{2}$=8π．
故选：D．

点评 本题考查了三棱锥的性质、空间几何位置关系、三垂线定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．