Question

8．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=AA₁=4，AC⊥BC，D是线段AB上一点．
（1）设$\overrightarrow{AB}$=5$\overline{AD}$，求异面直线AC₁与CD所成角的余弦值；
（2）若AC₁∥平面B₁CD，求二面角D-CB₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，根据$\overrightarrow{AB}$=5$\overline{AD}$，求出D的坐标，结合异面直线所成角的定义进行求解，
（2）根据AC₁∥平面B₁CD，利用平面向量共面的基本定理求出D的坐标，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 解：（1）∵AC⊥BC，
∴建立以C为坐标原点，CA，CB，CC₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AC=3，BC=AA₁=4，
∴C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C₁（0，0，4），B₁（0，4，4），
则$\overrightarrow{AB}$=（-3，4，0），设D（x，y，0），
∵$\overrightarrow{AB}$=5$\overline{AD}$，
∴（-3，4，0）=5（x-3，y，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{-3=5x-15}\\{4=5y}\end{array}\right.$则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，即D（$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$，0），
则$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），
则cos＜$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{A{C}_{1}}}{|\overrightarrow{C{D}_{\;}}||\overrightarrow{A{C}_{1}}|}$=$\frac{-3×\frac{12}{5}}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}•\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{4}{5}）^{2}}}$=-$\frac{9\sqrt{10}}{250}$，
则异面直线AC₁与CD所成角的余弦值是$\frac{9\sqrt{10}}{250}$．
（2）D（x，y，0），则$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，4），$\overrightarrow{CD}$=（x，y，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4）
∵AC₁∥平面B₁CD，
设$\overline{AD}$=t$\overrightarrow{AB}$=（-3t，4t，0），
则$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overline{AD}$=（3-3t，4t，0）
∴存在两个实数m，n有$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=m$\overrightarrow{C{B}_{1}}$+n$\overrightarrow{CD}$
即（-3，0，4）=m（0，4，4，）+n（3-3t，4t，0），
即$\left\{\begin{array}{l}{-3=3n-3nt}\\{0=4m+4nt}\\{4=4m}\end{array}\right.$，则m=1，n=-2，t=$\frac{1}{2}$，
即$\overrightarrow{CD}$=（3-3t，4t，0）=（$\frac{3}{2}$，2，0），
即D是AB的中点，
设平面DCB₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+4z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则z=-1，x=-$\frac{4}{3}$，即$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{4}{3}$，1，-1），
平面CB₁B的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{4}{3}}{\sqrt{\frac{16}{9}+1+1}}$=-$\frac{2\sqrt{34}}{17}$，
∵二面角D-CB₁-B是锐二面角，
∴二面角D-CB₁-B的余弦值是$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．

点评 本题主要考查异面直线所成角以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法．难度较大．