Question

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，证明不等式：

x

1+x

＜ln(x+1)＜x．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0，知函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且f′(x)=

ax-1

x+1

(a＞0)，由f′（x）=0，得x=

1

a

．列表讨论，能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）设?(x)=ln(x+1)-

x

1+x

，x∈[0，∞)，得：?′(x)=

1

x+1

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

，由此能够证明

x

1+x

＜ln(x+1)＜x．

解答：解：（1）由已知得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且f′(x)=

ax-1

x+1

(a＞0)，
令f'（x）=0，解得x=

1

a

当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	(-1， 1 a )	1 a	( 1 a ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

由上表可知，当x∈(-1，

1

a

)时，f'（x）＜0，函数f（x）在(-1，

1

a

)内单调递减，
当x∈(

1

a

，+∞)时，f'（x）＞0，函数f（x）在(

1

a

，+∞)内单调递增，
∴函数f（x）的单调减区间是(-1，

1

a

)，函数f（x）的单调增区间是(

1

a

，+∞)
（2）设?(x)=ln(x+1)-

x

1+x

，x∈[0，∞)
对?（x）求导，得：?′(x)=

1

x+1

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

当x＞0时，?′（x）＞0，
∴?（x）在（0，+∞）内是增函数．
∴?（x）在[0，+∞）上是增函数．
当x＞0时，?（x）＞?（0）=0，
即ln(x+1)-

x

1+x

＞0，
∴

x

1+x

＜ln(x+1)
同理可证ln（x+1）＜x，
∴

x

1+x

＜ln(x+1)＜x．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查推理论证能力，考查运算推导能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的综合应用．