Question

12．已知0＜x＜2，则$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{2-x}$的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 2
• C． 10
• D． 6

Answer 1

分析 0＜x＜2，f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{2-x}$，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵0＜x＜2，f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{2-x}$，
f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{0-9×（-1）}{（2-x）^{2}}$=$\frac{9{x}^{2}-（2-x）^{2}}{{x}^{2}（2-x）^{2}}$=$\frac{8（x+1）（x-\frac{1}{2}）}{（2x-{x}^{2}）^{2}}$．
∴当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最小值$f（\frac{1}{2}）$=2+6=8．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．