Question

20．对于椭圆C，$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0），c为椭圆的半焦距，e为离心率，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（非顶点），点D在椭圆上，AD⊥AB，直线BD与x轴，y轴分别交于M，N．
（1）当e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，证明：直线AM⊥x轴；
（2）求△OMN的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由A和B在椭圆上，利用点差法求得$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，根据直线的斜率公式可得k_AD•k_BD=$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，由AD⊥AB，可得k_BD=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$k_AB，分别求得直线BM和OA的斜率，求得M坐标，根据斜率公式求得x₁=x₀，可证AM⊥x轴；
（2）由（1）求得直线BD的方程，根据三角形的面积公式，利用基本不等式的关系，即可求得△OMN的面积的最大值．

解答 证明：（1）设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），
∵A，D在椭圆上，
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1$
两式相减得$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴k_AD•k_BD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，…（3分）
∵AD⊥AB，
∴k_AD•k_BD=-1，
∴k_BD=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$k_AB．
设M（x₀，0），则k_BD=k_BM=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，k_AB=k_OA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
易知，y₁≠0，
∴x₀=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{b}^{2}}$x₁=$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$x₁，
由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$得，b=c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴x₁=x₀，即AM⊥x轴       …（6分）
（2）∵M（$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$x₁，0），k_BD=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$k_AB=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
∴直线BD的方程是y=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$（x-$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$x₁），
令x=0得，y_N=-$\frac{{c}^{2}{y}_{1}}{{a}^{2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|x₀||y_N|=$\frac{1}{2}$|$\frac{{c}^{2}{y}_{1}}{{a}^{2}}$||$\frac{{c}^{2}{x}_{1}}{{b}^{2}}$|=$\frac{{c}^{4}}{2{a}^{2}{b}^{2}}$|x₁y₁|…（9分）
由$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1$得，1=$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$≥2丨$\frac{{x}_{1}{y}_{1}}{ab}$丨，|x₁y₁|≤$\frac{ab}{2}$，
当且仅当a|y₁|=b|x₁|时取等号，
∴S≤$\frac{{c}^{4}}{4ab}$，
∴△OMN的面积的最大值是$\frac{{c}^{4}}{4ab}$．  …（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线的斜率公式及方程，考查点差法的应用，考查三角形的面积公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．