Question

正方形ABCD的对角线AC在直线x+2y-1=0上，点A，B的坐标分别为A（-5，3），B（m，0）（m＞-5），求B、C、D点的坐标．

Answer 1

分析：根据直线BD⊥AC，求出BD斜率为2，利用点斜式给出BD方程．将BD、AC方程联解可得E点关于m的坐标，由|AE|=|BE|列式解出m=-4，从而得到E点、B点的坐标，最后利用中点坐标公式可求出点C、D点的坐标，得到本题的答案．

解答：解：如图，设正方形ABCD两顶点C，D坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
∵直线BD⊥AC，k_AC=-

1

2

，∴k_BD=

-1

kAC

=2，
可得直线BD方程为y=2（x-m），
与x+2y-1=0联解，得

x= 1 5 + 4 5 x y= 2 5 - 2 5 m

，
∴点E的坐标为（

1

5

+

4

5

m，

2

5

-

2

5

m），
又∵|AE|=|BE|，∴

( 1 5 + 4 5 m+5)2+( 2 5 - 2 5 m-3)2

=

( 1 5 + 4 5 m-m)2+( 2 5 - 2 5 m)2

，
平方整理，得m²+18m+56=0，解之得m=-4或m=-14（因为m＞-5，舍去此解），
可得点B坐标为（-4，0），
∵点E坐标为（-3，2），E为AC中点
∴

-3= -5+x1 2 2= 3+y1 2

，解之得

x1=-1 y1=1

，即点C坐标为（-1，1），
同理可得点D坐标为（-2，4），
综上所述，点B（-4，0），点C（-1，1），点D（-2，4）．

点评：本题给出正方形的对角线位置和一个顶点的坐标，求它另外顶点的坐标，着重考查了直线的基本形式、直线的位置关系和与直线关于直线对称的直线方程等知识，属于中档题．