Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若任意的a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，总有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：f(x+1)＜f(

1

x-1

)；
（3）若f（x）≤m²-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，其中p∈[-1，1]（p是常数），试用常数p表示实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）在[-1，1]上是增函数，然后利用增函数的定义进行证明．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数可列出方程组，解这个方程组就到不等式f(x+1)＜f(

1

x-1

)的解．
（3）根据函数的单调性知f（x）最大值为f（1）=1，所以要使f（x）≤m²-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，只需m（m-2p）≥0成立．根据p的不同取值进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）f（x）在[-1，1]上是增函数，
证明如下：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
于是有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，
而x₁-x₂＜0，故f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在[-1，1]上是增函数；（4分）
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：

-1≤x+1≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+1＜ 1 x-1

?

-2≤x≤0 x≥2，或x≤0 x＜- 2 ，或1＜x＜ 2

?-2≤x＜-

2

，
故不等式的解集为{x|-2≤x＜-

2

}；（8分）
（3）由（1）知f（x）最大值为f（1）=1，
所以要使f（x）≤m²-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m²-2pm+1成立，即m（m-2p）≥0．
①当p∈[-1，0）时，m的取值范围为（-∞，2p]∪[0，+∞）；
②当p∈（0，1]时，m的取值范围为（-∞，0]∪[2p，+∞）；
③当p=0时，m的取值范围为R．（12分）

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．