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    （2012•泉州模拟）将边长为1的正三角形ABC按如图所示的方式放置，其中顶点A与坐标原点重合．记边AB所在直线的倾斜角为θ，已知θ∈[0，
    π
    3
    ]    ．
    （Ⅰ）试用θ表示
    BC
    的坐标（要求将结果化简为形如（cosα，sinα）的形式）；
    （Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），称|x1-x2|+|y1-y2|为P、Q两点间的“taxi距离”，并用符号|PQ|表示．试求|BC|的最大值．
    分析：（Ⅰ）解法一：由B（cosθ，sinθ），C（cos（θ+
    π
    3
    ），sin（θ+
    π
    3
    ））可求得
    BC
    的坐标，利用两角和与差的三角函数公式即可求得
    BC
    ．
    解法二：由直线AD的倾斜角为
    2π
    3
    +θ，
    BC
    =
    AD
    ，利用三角函数的定义可求得D点的坐标为：D（cos（θ+
    2π
    3
    ），sin（θ+
    2π
    3
    ）），即
    BC
    的坐标；
    （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）解法二可知|BC|=|cos（θ+
    2π
    3
    ）|+|sin（θ+
    2π
    3
    ））|，而θ∈[0，
    π
    3
    ]，可求得θ+
    2π
    3
    ∈[
    2π
    3
    ，π]，从而可得|BC|=-cos（θ+
    2π
    3
    ）+sin（θ+
    2π
    3
    ），整理可得|BC|=
    		2
    sin（θ+
    5π
    12
    ），继而可得答案；
    解法二：由（Ⅰ）解法一可知|BC|=|cos（θ+
    π
    3
    ）-cosθ|+|sin（θ+
    π
    3
    ）-sinθ|，由0≤θ≤
    π
    3
    ，可得0＜θ+
    π
    3
    ＜π，从而|cos(θ+
    π
    3
    )-cosθ|    =cosθ-cos（θ+
    π
    3
    ），同理|sin(θ+
    π
    3
    )-sinθ|    =sin（θ+
    π
    3
    ）-sinθ，于是|BC|=sin（θ+
    π
    3
    ）+cos（θ+
    π
    3
    ），再利用辅助角公式即可得答案．
    解答：解：（Ⅰ）解法一：因为B（cosθ，sinθ），C（cos（θ+
    π
    3
    ），sin（θ+
    π
    3
    ）），…（2分）
    所以
    BC
    =（cos（θ+
    π
    3
    ）-cosθ，sin（θ+
    π
    3
    ）-sinθ），…（3分）
    =（-
    		3
    2
    sinθ-
    1
    2
    cosθ，
    		3
    2
    cosθ-
    1
    2
    sinθ）
    =（cos（θ+
    2π
    3
    ），sin（θ+
    2π
    3
    ））．…（7分）
    解法二：平移
    BC
    到
    AD
    （B移到A，C移到D），…（2分）
    由
    BC
    的坐标与
    AD
    的坐标相等，都等于点D的坐标．…（3分）
    由平几知识易得直线AD的倾斜角为
    2π
    3
    +θ，
    ∵
    |AD|
    =1，
    ∴根据三角函数的定义可得D（cos（θ+
    2π
    3
    ），sin（θ+
    2π
    3
    ）），
    所以
    BC
    =（cos（θ+
    2π
    3
    ），sin（θ+
    2π
    3
    ））．…（7分）
    （Ⅱ）解法一：
    |BC|=|cos（θ+
    2π
    3
    ）|+|sin（θ+
    2π
    3
    ））|，…（8分）
    ∵θ∈[0，
    π
    3
    ]，
    ∴θ+
    2π
    3
    ∈[
    2π
    3
    ，π]，…（9分）
    ∴|BC|=-cos（θ+
    2π
    3
    ）+sin（θ+
    2π
    3
    ）…（11分）
    =
    		2
    sin（θ+
    5π
    12
    ），…（12分）
    所以当θ=
    π
    12
    时，|BC|取得最大值
    		2
    ．…（13分）
    解法二：|BC|=|cos（θ+
    π
    3
    ）-cosθ|+|sin（θ+
    π
    3
    ）-sinθ|，…（8分）
    ∵0≤θ≤
    π
    3
    ，
    ∴
    π
    3
    ≤θ+
    π
    3
    ≤
    2π
    3
    ＜π，即0≤θ＜θ+
    π
    3
    ＜π，
    ∴|cos(θ+
    π
    3
    )-cosθ|    =cosθ-cos（θ+
    π
    3
    ）．…（9分）
    ∵0≤θ≤
    π
    3
    ，
    ∴
    π
    2
    -θ≥（θ+
    π
    3
    ）-
    π
    2
    ，
    ∴|sin(θ+
    π
    3
    )-sinθ|    =sin（θ+
    π
    3
    ）-sinθ，…10分
    |BC|=cosθ-cos（θ+
    π
    3
    ）+sin（θ+
    π
    3
    ）-sinθ
    =sin（θ+
    π
    3
    ）+cos（θ+
    π
    3
    ）
    =
    		2
    sin（θ+
    5π
    12
    ），…（12分）
    所以当θ=
    π
    12
    ，|BC|取得最大值
    		2
    ．…（13分）
    点评：本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，综合性强，属于难题．
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    12
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    1
    2012
    )+f(
    2
    2012
    )+…+f(
    4022
    2012
    )+f(
    4023
    2012
    )    =（　　）

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