Question

【题目】如图，在三棱锥中， ， ， ， ，直线与平面成角， 为的中点， ， .

（Ⅰ）若，求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：由题意可得直线与平面所成角是，即.

设，则， ，由余弦定理得或.

（Ⅰ）若，则，由勾股定理可得，又，据此可得平面，平面平面.

（Ⅱ）若，则，故， ，

设是到面的距离， 是到面的距离，则，

由等体积法可得， .

设直线与平面所成角为，则 ，据此可得直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.

试题解析：

∵， ， 为的中点，

∴， ，∴平面，

∴直线与平面所成角是， .

设，则， ，由余弦定理得或.

（Ⅰ）若，则，∴在中.∴，

又， ，∴平面，∴平面平面.

（Ⅱ）若，∴，∵，∴， ，

设是到面的距离， 是到面的距离，则，

由等体积法： ，

∴，∴.

设直线与平面所成角为，则

.

∵，∴.

∴

故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.