Question

3．有两直线ax-2y-2a+4=0和2x-（1-a²）y-2-2a²=0，当a在区间（0，2）内变化时，求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值．

Answer 1

分析 利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得y_E=2．根据S_{四边形OCEA}=S_△BCE-S_△OAB即可得出．

解答 解：∵0＜a＜2，
可得l₁：ax-2y=2a-4，与坐标轴的交点A（0，-a+2），B（2-$\frac{4}{a}$，0）．
l₂：2x-（1-a²）y-2-2a²=0，与坐标轴的交点C（a²+1，0），D（0，$\frac{-2-2{a}^{2}}{1-{a}^{2}}$）．
两直线ax-2y-2a+4=0和2x-（1-a²）y-2-2a²=0，都经过定点（2，2），即y_E=2．
∴S_{四边形OCEA}=S_△BCE-S_△OAB
=$\frac{1}{2}$|BC|•y_E-$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|
=$\frac{1}{2}$（a²+$\frac{4}{a}$-1）×2-$\frac{1}{2}$（2-a）×（$\frac{4}{a}$-2）
=a²-a+3
=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$≥$\frac{11}{4}$，当a=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴l₁，l₂与坐标轴围成的四边形面积的最小值为$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．