Question

15．已知tan$\frac{α}{2}$tan$\frac{a-β}{2}$=-6
（1）求证5cos（α-$\frac{β}{2}$）+7cos$\frac{β}{2}$=0
（2）若tan$\frac{α}{2}$=2，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得sin$\frac{α}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$=-6cos$\frac{α}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$，而5cos（α-$\frac{β}{2}$）+7cos$\frac{β}{2}$=5cos（$\frac{α}{2}$+$\frac{α-β}{2}$）+7cos（$\frac{α}{2}$-$\frac{α-β}{2}$）=12cos$\frac{α}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$+2sin$\frac{α}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$，代入化简可得；
（2）由题意可得tan$\frac{a-β}{2}$，由二倍角公式可得tan（α-β），再由同角三角函数基本关系可得．

解答 解：（1）证明：∵tan$\frac{α}{2}$tan$\frac{a-β}{2}$=$\frac{sin\frac{α}{2}sin\frac{α-β}{2}}{cos\frac{α}{2}cos\frac{α-β}{2}}$=-6，
∴sin$\frac{α}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$=-6cos$\frac{α}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$，
∴5cos（α-$\frac{β}{2}$）+7cos$\frac{β}{2}$=5cos（$\frac{α}{2}$+$\frac{α-β}{2}$）+7cos（$\frac{α}{2}$-$\frac{α-β}{2}$）
=5cos$\frac{α}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$-5sin$\frac{α}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$+7cos$\frac{α}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$+7sin$\frac{α}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$
=12cos$\frac{α}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$+2sin$\frac{α}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$
=12cos$\frac{α}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$+2（-6cos$\frac{α}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$）=0；
（2）∵tan$\frac{α}{2}$=2，tan$\frac{α}{2}$tan$\frac{a-β}{2}$=-6，∴tan$\frac{a-β}{2}$=-3，
∴tan（α-β）=$\frac{2tan\frac{α-β}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α-β}{2}}$=$\frac{3}{4}$
由同角三角函数基本关系可得cos（α-β）=±$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查三角函数化简和恒等式的证明，整体法是解决问题的关键，属中档题．