Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n•S_n-1（n≥2），a₁=$\frac{2}{9}$，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{9}，}&{n=1}\\{\frac{4}{（11-2n）（13-2n）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1并对等式S_n-S_n-1=S_n•S_n-1（n≥2）两边同时取倒数可知数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{9}{2}$为首项、-1为公差的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n=S_n-S_n-1=S_n•S_n-1（n≥2），
∴$\frac{{S}_{n}-{S}_{n-1}}{{S}_{n}{•S}_{n-1}}$=$\frac{{S}_{n}•{S}_{n-1}}{{S}_{n}•{S}_{n-1}}$，即$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-1，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{9}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{9}{2}$为首项、-1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{9}{2}$-（n-1）=$\frac{11}{2}$-n=$\frac{-2n+11}{2}$，
∴S_n=$\frac{2}{-2n+11}$，
∴a_n+1=S_n+1-S_n
=$\frac{2}{-2（n+1）+11}$-$\frac{2}{-2n+11}$
=$\frac{4}{（-2n+9）（-2n+11）}$，
又∵a₁=$\frac{2}{9}$不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{9}，}&{n=1}\\{\frac{4}{（11-2n）（13-2n）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{9}，}&{n=1}\\{\frac{4}{（11-2n）（13-2n）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．