Question

16．已知椭圆b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）截直线l₁：bx-ay=ab所得弦长为2$\sqrt{2}$，过椭圆右焦点且斜率为$\sqrt{3}$的直线l₂被椭圆截得的弦长是椭圆长轴长的$\frac{2}{5}$，求椭圆方程．

Answer 1

分析 利用椭圆b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）截直线l₁：bx-ay=ab所得弦长为2$\sqrt{2}$，可得b²+a²=8，过椭圆右焦点且斜率为$\sqrt{3}$的直线l₂被椭圆截得的弦长是椭圆长轴长的$\frac{2}{5}$，利用弦长公式得$\sqrt{1+3}$•$\frac{4a{b}^{2}}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$=$\frac{4a}{5}$，求出a，b，即可求椭圆方程．

解答 解：∵椭圆b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）截直线l₁：bx-ay=ab所得弦长为2$\sqrt{2}$，
∴b²+a²=8，①
过椭圆右焦点且斜率为$\sqrt{3}$的直线l₂的方程为y=$\sqrt{3}$（x-c），
代入椭圆方程可得（b²+3a²）x²-6a²cx+a²（3c²-b²）=0，∴x₁+x₂=$\frac{6{a}^{2}c}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（3{c}^{2}-{b}^{2}）}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$．
∴|x₁-x₂|=$\frac{4a{b}^{2}}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$，
由弦长公式得$\sqrt{1+3}$•$\frac{4a{b}^{2}}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$=$\frac{4a}{5}$，
即a²=3b²，②
联立①②得a²=6，b²=2．
故C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．