Question

6．已知{a_n}为递增等差数列且a₁=1，且a₅是a₂与a₉+10的等比中项．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）条件下对任意n∈N^*，T_n＞$\frac{m}{23}$都成立，求整数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意设{a_n}的公差为d，且d＞0，由等比中项可得（1+4d）²=（1+d）（8d+11），解方程可得d，可得通项公式；
（2）由（1）知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），裂项相消可得；
（3）由（2）知T_n=$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$，当n=1时T_n取最小值$\frac{1}{3}$，需$\frac{1}{3}$＞$\frac{m}{23}$，解不等式可得m的最值．

解答 解：（1）由题意设{a_n}的公差为d，且d＞0，
∵a₅是a₂与a₉+10的等比中项，
∴a₅²=a₂（a₉+10），即（1+4d）²=（1+d）（8d+11），
解得d=2，或d=-$\frac{5}{8}$（舍去）
∴{a_n}的通项公式a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$；
（3）由（2）知T_n=$\frac{n}{2n+1}$=$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$，随n的增大而增大，
故当n=1时T_n取最小值$\frac{1}{3}$，
要使T_n＞$\frac{m}{23}$都成立，需$\frac{1}{3}$＞$\frac{m}{23}$，即m＜$\frac{23}{3}$，
∴整数m的最大值为7

点评 本题考查数列和不等式的综合应用，涉及裂项法求和以及恒成立问题，属中档题．