Question

18．如图，一块半径为2米的半圆形钢板，O为圆心，现从中截出两块内接矩形部件ABCD和EFGH，且HG=2FG，点P为GH的中点，∠POG=θ．
（1）当θ=15°时，求矩形ABCD的面积；
（2）设△OGH的面积为S，当θ变化时，求y=S+BC的最大值．

Answer 1

分析 （1）、当θ=15°时，GF=PG=2sin15°，OP=2cos15°，从而求得BC=2cos15°-2sin15°=2$\sqrt{1-sin30°}$=$\sqrt{2}$；再求矩形ABCD的面积；
（2）可知S=$\frac{1}{2}$×HG×OP=4sinθcosθ，BC=2cosθ-2sinθ，从而可得y=S+BC=4sinθcosθ+2cosθ-2sinθ，再利用换元法令cosθ-sinθ=t（0＜t＜1），则2sinθcosθ=1-t²，从而化为二次函数的最值问题．

解答 解：（1）、当θ=15°时，
GF=PG=2sin15°，OP=2cos15°，
BC=2cos15°-2sin15°
=2$\sqrt{1-sin30°}$
=$\sqrt{2}$；
故OB=$\sqrt{{2}^{2}-2}$=$\sqrt{2}$，
故矩形ABCD的面积S=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=4．
（2）、由题意，
S=$\frac{1}{2}$×HG×OP
=$\frac{1}{2}$×2×2sinθ×2cosθ
=4sinθcosθ，
BC=2cosθ-2sinθ，
故y=S+BC=4sinθcosθ+2cosθ-2sinθ
令cosθ-sinθ=t（0＜t＜1），则2sinθcosθ=1-t²，
则y=2（1-t²）+2t
=2（-t²+t+1）=-2（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$；
故当t=$\frac{1}{2}$时，y=S+BC取得最大值$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的化简与应用，同时考查了二次函数的最值求法及换元法的应用，属于中档题．