Question

10．已知f（x）=ax³+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程y=x-2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）先根据f（x）的图象经过点（0，1）求出c，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可；
（2）首先对f（x）=5x³-7x²+1求导，可得f'（x）=15x²-14x，令f′（x）＞0解之即可求出函数的单调递增区间．

解答 解：（1）f（x）=ax³+bx²+c的图象经过点（0，1），则c=1，
f'（x）=3ax²+2bx，k=f'（1）=3a+2b=1，
切点为（1，-1），
则f（x）=ax³+bx²+c的图象经过点（1，-1），
得a+b+c=-1，
得a=5，b=-7，
则有f（x）=5x³-7x²+1；
（2）f（x）=5x³-7x²+1的导数为
f'（x）=15x²-14x
令f′（x）＞0，
解得x＜0，或x＞$\frac{14}{15}$，
则单调递增区间为（-∞，0），（$\frac{14}{15}$，+∞）．

点评 本题考查导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系，利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．