Question

2．已知sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，tanβ=-$\frac{1}{3}$，且α，β∈（-$\frac{π}{2}$，0）．
（1）求α+β的值；
（2）求$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-α）+cos（$\frac{π}{4}$+β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式可得cosα，sinβ，cosβ．再利用“和差公式”即可得出．
（2）利用“和差公式”即可得出．

解答 解：（1）∵α∈（-$\frac{π}{2}$，0），∴$cosα=\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵β∈（-$\frac{π}{2}$，0），tanβ=-$\frac{1}{3}$=$\frac{sinβ}{cosβ}$，又sin²β+cos²β=1．解得sinβ=$-\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$（-\frac{\sqrt{5}}{5}）$×$（-\frac{\sqrt{10}}{10}）$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴α+β=-$arccos\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（2）$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-α）+cos（$\frac{π}{4}$+β）
=$\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}cosα-\frac{\sqrt{2}}{2}sinα）$+$\frac{\sqrt{2}}{2}cosβ$-$\frac{\sqrt{2}}{2}sinβ$
=cosα-sinα+$\frac{\sqrt{2}}{2}（cosβ-sinβ）$
=$\frac{2\sqrt{5}}{5}-（-\frac{\sqrt{5}}{5}）$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{2\sqrt{10}}{5}$
=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、“和差公式”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．