Question

14．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π，x∈R）的最大值为2，且其图象经过点M（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{3}$）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤-1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的最大值求出A=2，结合定点坐标即可求f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤-1，解三角函数不等式即可求x的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）的最大值为2，则A=2，
∵图象经过点M（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{3}$）．
∴2sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\sqrt{3}$，
即sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜φ＜π，
∴$\frac{π}{3}$＜φ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
则φ+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得φ=$\frac{π}{3}$，
即f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）；
（2）若f（x）≤-1，
则2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤-1；
即sin（x+$\frac{π}{3}$）≤-$\frac{1}{2}$；
即2kπ+$\frac{7π}{6}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z，
解得2kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z
即x的取值范围是2kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数不等式的求解，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．