Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2n，求证：数列{a_n+2}为等比数列并求a_n．

Answer 1

分析 通过S_n=2a_n-2n与S_n+1=2a_n+1-2（n+1）作差、整理可知a_n+1=2a_n+2，从而a_n+1+2=2（a_n+2），进而数列{a_n+2}是以4为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 证明：∵S_n=2a_n-2n，
∴S_n+1=2a_n+1-2（n+1），
两式相减得：a_n+1=2a_n+1-2a_n-2，
∴a_n+1=2a_n+2，
∴a_n+1+2=2（a_n+2），
又∵a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴a₁+2=2+2=4，
∴数列{a_n+2}是以4为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．