Question

9．对于定义在D上函数y=f（x），若存在x₀∈D，对任意的x∈D，都有f（x）≥f（x₀），则称函数f（x）在区间D上有下界，把f（x₀）称为函数f（x）在D上的“下界”，若函数f（x）在区间D上既有“上界”又有“下界”，则称函数f（x）是区间D上的“有界函数”，把“上界”减去“下界”的差称为函数f（x）在D上的“幅度M”，对于实数a，试探究函数F（x）=x|x-2a|+3（a≤$\frac{1}{2}$）是不是[1，2]上的“有界函数”？如果是，求出“幅度M”的值．

Answer 1

分析 求出F（x）的分段函数式，讨论①当a≤0时，②当0＜a≤$\frac{1}{2}$时，函数的解析式和对称轴，与区间的关系，由单调性即可得到最值和幅度M的值．

解答 解：F（x）=x|x-2a|+3=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2ax+3，x≤2a}\\{{x}^{2}-2ax+3，x＞2a}\end{array}\right.$，
①当a≤0时，F（x）=x²-2ax+3对称轴为x=a，在[1，2]递增，
F（x）_max=F（2）=7-4a，F（x）_min=F（1）=4-2a，
幅度M=F（2）-F（1）=3-2a；
②当0＜a≤$\frac{1}{2}$时，F（x）=x²-2ax+3，
区间[1，2]在对称轴的右边，为增区间，
F（x）_max=F（2），F（x）_min=F（1），
幅度M=F（2）-F（1）=3-2a．
综上可得是[1，2]上的“有界函数”，
“幅度M”的值为3-2a．

点评 本题考查新定义的理解和应用，考查二次函数的最值的求法，注意单调性的运用，属于中档题．