Question

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b²=a²+bc，A=$\frac{π}{6}$，则内角C=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{6}$，而b²=a²+bc，可得c=（$\sqrt{3}$-1）b，a²=（2-$\sqrt{3}$）b²，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{6}$=b²+c²-$\sqrt{3}$bc，
∵b²=a²+bc，
∴bc+c²-$\sqrt{3}$bc=0，
解得c=（$\sqrt{3}$-1）b，
a²=b²-bc=（2-$\sqrt{3}$）b²，可得：a=$\sqrt{2-\sqrt{3}}$b，
∴解得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2-\sqrt{3}}}$=$\frac{\sqrt{2}（2-\sqrt{3}）}{2（2-\sqrt{3}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵c＜b，
∴C为锐角，C=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．