Question

已知等差数列{a_n}满足：a₁+a₃=4，a₂•a₃=6；等比数列{b_n}满足：b₁b₃b₅=64，b₃+b₄=16．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

1

4

bn-x•2an，若数列{c_n}是递增数列，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列、等比数列的性质，求出等差数列的首项与公差，等比数列的首项与公比，即可求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求出数列{c_n}的通项，根据数列{c_n}是递增数列，可得3^n-2-x•2ⁿ⁺¹＞3^n-3-x•2ⁿ对任意的n∈N^*恒成立，化简分离参数，即可求实数x的取值范围．

解答： 解：（1）∵a₁+a₃=2a₂=4，∴a₂=2，
又∵a₂a₃=6，∴a₃=3，
∴d=1，
∴a_n=n；
∵64=b1b3b5=b33，∴b₃=4，
∵16=b₃+b₄=b₃（1+q），∴q=3，
∴bn=4•3n-3；
（2）由（1）知：cn=3n-3-x•2n．
∵数列{c_n}是递增数列，
∴3^n-2-x•2ⁿ⁺¹＞3^n-3-x•2ⁿ对任意的n∈N^*恒成立，
∴3^n-2-x•2ⁿ⁺¹＞3^n-3-x•2ⁿ恒成立，
即：2•3^n-3＞x•2ⁿ恒成立，也即x＜

1

4

•(

3

2

)n-3恒成立．
∵y=(

3

2

)n-3是增函数，
∴[

1

4

•(

3

2

)n-3]min=

1

4

•(

3

2

)-2=

1

4

×

4

9

=

1

9

，
∴x＜

1

9

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项，考查数列的单调性，考查分离参数法的运用，确定数列的通项是关键．