【题目】已知曲线C:(5﹣m)x2+(m﹣2)y2=8(m∈R)
(1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;
(2)设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.
【答案】
(1)解:原曲线方程可化简得:
由题意,曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得: ,解得:
(2)证明:由已知直线代入椭圆方程化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,△=32(2k2﹣3)>0,解得:
由韦达定理得: ①,
,②
设N(xN,kxN+4),M(xM,kxM+4),G(xG,1),MB方程为: ,则
,
∴ ,
=(xN,kxN+2),
欲证A,G,N三点共线,只需证 ,
共线
即 成立,化简得:(3k+k)xMxN=﹣6(xM+xN)
将①②代入可得等式成立,则A,G,N三点共线得证.
【解析】(1)原曲线方程,化为标准方程,利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组,即可求得m的取值范围;(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,△=32(2k2﹣3),解得: ,设N(xN , kxN+4),M(xM , kxM+4),G(xG , 1),MB方程为:
,则
,从而可得
,
=(xN , kxN+2),欲证A,G,N三点共线,只需证
,
共线,利用韦达定理,可以证明.
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
即可以解答此题.
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【题目】对于实数a和b,定义运算“*”:a*b= 设f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1 , x2 , x3 , 则x1x2x3的取值范围是 .
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【题目】如图,在四面体A-BCD中,AD平面BCD,BC
CD,CD=2,AD=4.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
(I)证明:PQ//平面BCD;
(II)若异面直线PQ与CD所成的角为,二面角C-BM-D的大小为
,求cos
的值。
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【题目】某公司为了变废为宝,节约资源,新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算该项目月处理成本(元)与月处理量
(吨)之间的函数关系可以近似地表示为:
,且每处理一吨生活垃圾,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将给予补贴.
(1)当时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?
(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
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【题目】已知f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,当x∈(0,2]时,f(x)=2x﹣1,函数g(x)=x2﹣2x+m.如果对于x1∈[﹣2,2],x2∈[﹣2,2],使得g(x2)=f(x1),则实数m的取值范围是
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【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定:机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”,《中华人民共和国道路交通安全法》 第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分,罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
违章驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)请利用所给数据求违章人数y与月份之间的回归直线方程+
(2)预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数;
(3)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人,调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系,得到如下2列联表:
不礼让斑马线 | 礼让斑马线 | 合计 | |
驾龄不超过1年 | 22 | 8 | 30 |
驾龄1年以上 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
能否据此判断有97.5的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关?
参考公式及数据:,
.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(其中n=a+b+c+d)
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