Question

【题目】如图，在四面体A-BCD中，AD平面BCD,BCCD,CD=2,AD=4.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.

(I)证明：PQ//平面BCD;

(II)若异面直线PQ与CD所成的角为，二面角C-BM-D的大小为，求cos的值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（1）连并延长交于，连过作交于，由三角形中位线定理以及全等三角形的性质可得 ，结合条件推导出，由此能证明平面；（2）过作于，作于，连，可证明 平面 ，可得，即为二面角的平面角，由直角三角形的性质可求出的值.

试题解析：（1）证明：如图，连AP并延长交BD于E，连CE，

过M作MN∥BD交AP于N，则AN=NE，NP=PE．

故AP=3PE，从而PQ∥CE．

因PQ平面BCD，CE平面BCD，

故PQ∥平面BCD．

（2）解：过C作CF⊥BD于F，作CR⊥BM于R，连FR．

因AD⊥平面BCD，故平面ABD⊥平面BCD，

故CF⊥平面ABD，因此CF⊥BM，从而BM⊥平面RCF，

所以∠CRF=θ即为二面角C﹣BM﹣D的平面角．

因PQ∥CE，故∠DCE=45°，因此CE即为∠BCD的角平分线．

由 （1）知DE=2MN=2EB，故DC=2BC，

从而BC=1，．

由题意知BC⊥平面ACD，故BC⊥CM．

由题意知，故．

所以=，从而．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、二面角及其平面角，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.