Question

（2013•浙江模拟）在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，已知点P是△ABC内一点，则

PC

•(

PA

+

PB

)的最小值是

-1

．

Answer 1

分析：由题意知△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，分别以CB、CA所在的直线为x、y轴，建立如图所示直角坐标系．算出A、B、C各点的坐标，设P（x，y）可得

PC

•(

PA

+

PB

)=2（x-

1

2

）²+2（y-

1

2

）²-1，结合两点间的距离公式可得点P坐标为（

1

2

，

1

2

）时，

PC

•(

PA

+

PB

)取得最小值．

解答：解：∵Rt△ABC中，AC=2，BC=2，∴△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形
分别以CB、CA所在的直线为x、y轴，建立如图所示直角坐标系
∵AC=BC=2，∴A（0，2），C（0，0），B（2，0）
设P（x，y），则

PA

=（-x，2-y），

PB

=（2-x，-y）），

PC

=（-x，-y）
∴

PA

+

PB

=（2-2x，2-2y）
∴

PC

•(

PA

+

PB

)=-x（2-2x）-y（2-2y）=-2x+2x²-2y+2y²=2（x-

1

2

）²+2（y-

1

2

）²-1
∵（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²为点P到点（

1

2

，

1

2

）距离的平方，
∴当点P坐标为（

1

2

，

1

2

）时，（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²达到最小值0，
由此可得当点P坐标为（

1

2

，

1

2

）时，数量积

PC

•(

PA

+

PB

)的最小值是-1
故答案为：-1

点评：本题给出等腰直角三角形ABC内部一点P，求数量积

PC

•(

PA

+

PB

)的最小值．着重考查了平面向量数量积的坐标表示及其应用，属于中档题．解题的关键是根据所求式子运用几何意义使问题得以解决．