Question

已知函数f(x)=

x2，(x≤0) 2cosx，(0＜x＜π)

，则函数f（x）的值域是

 

；若f[f（x₀）]=2，则x₀=

 

．

Answer 1

分析：求分段函数f(x)=

x2，(x≤0) 2cosx，(0＜x＜π)

我们可以先求出函数在（-∞，0]上的值域，再求出函数在区间（0，π）上的值域，然后求出它们的并集即为函数的值域，而要求f[f（x₀）]=2时，对应自变量的值，则要构造方程，解方程得到答案．

解答：解：当x∈（-∞，0]时，∵f（x）=x²
∴此时，f（x）∈[0，+∞）
而当x∈（0，π）时，∵f（x）=2cosx
∴此时，f（x）∈（-2，2）
∵（-2，2）∪）[0，+∞）=（-2，+∞）
故函数f（x）的值域是 （-2，+∞）
当f[f（x₀）]=2时
f（x₀）=±

2

，
分析可得：x₀=

3π

4

故答案：（-2，+∞），

3π

4

点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．