Question

已知点P（2cosα，2sinα）和Q（ a，0 ），O为坐标原点．当α∈（0，π）时．
（Ⅰ）若存在点P，使得OP⊥PQ，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 如果a=-1，求向量

PO

与

PQ

的夹角θ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出

OP

，

PQ

的坐标代入x₁x₂+y₁y₂=0即可求出实数a的取值范围；
（Ⅱ）把a=-1代入

OP

，

PQ

的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ=

a • b

| a |•| b |

即可求解．

解答：解：（Ⅰ）

OP

=（2cosα，2sinα）

PQ

=（a-2cosα，-2sinα），
由OP⊥PQ，得

OP

• 

QP

=4cos2α-2acosα+4sin2α=4-2acosα=0，
由α∈（0，π），得cosα=

2

a

∈(-1，1)，
∴a＜-2或a＞2．（7分）
（Ⅱ）当a=-1时，

PO

=(-2cosα，-2sinα)，

PQ

=(-1-2cosα，-2sinα)，

cosθ= PO • PQ | PO || PQ | = 2cosα(1+2cosα)+(2sinα)2 2 (2cosα+1)2+(2sinα)2 = cosα+2 4cosα+5 = (cosα+ 5 4 )+ 3 4 2 cosα+ 5 4 ≥ 3 2

当cosα+

5

4

=

3

4

，即cosα=-

1

2

，α=

2

3

π∈(0，π)时，取等号．
又∵cosθ在θ∈（0，π）上是减函数，
∴θmax=

π

6

．（8分）

点评：如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ=

a • b

| a |•| b |

即可求解