Question

已知点P（2cosα，2sinα）和Q（ a，0 ），O为坐标原点．当α∈（0，π）时，
（Ⅰ）若存在点P，使得PO⊥PQ，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 如果a=-1，设向量

PO

与

PQ

的夹角为θ，求证：cosθ≥

3

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先写出向量的坐标

PO

，

PQ

，由题意可得

PO

⊥

PQ

，利用向量垂直的条件得到cosα=

2

a

．利用-1≤cosα≤1即可求出实数a的取值范围；
（Ⅱ） 如果a=-1，

PQ

=（-1-2cosα，-2sinα），利用向计算公式得夹角余弦值cosθ=

PO  • PQ

| PO | •  | PQ |

=

cosα+2

5+4cosα

，设

5+4cosα

=t，利用换元法即可求得其范围，从而得出cosθ≥

3

2

．

解答：解：（Ⅰ）

PO

=（-2cosα，-2sinα），

PQ

=（a-2cosα，-2sinα），
由题意可得

PO

⊥

PQ

，
∴（-2cosα，-2sinα）•（a-2cosα，-2sinα）=（-2cosα）•（a-2cosα）+4sin²α=0，
∴cosα=

2

a

．    
当α∈（0，π）时，-1≤cosα≤1，∴-1≤

2

a

≤1，
∴a≤-2，或 a≥2，故实数a的取值范围为 （-∞，-2]∪[2，+∞）．
（Ⅱ） 如果a=-1，

PQ

=（-1-2cosα，-2sinα），
cosθ=

PO  • PQ

| PO | •  | PQ |

=

(-2cosα，-2sinα)•(-1-2cosα，-2sinα)

|(-2cosα，-2sinα)|•|(-1-2cosα，-2sinα)|

=

2cosα+4

2 5+4cosα

 
=

cosα+2

5+4cosα

设

5+4cosα

=t，则cosα=

t 2-5

4

，
∴

cosα+2

5+4cosα

=

t 2-5 4 +2

t

=

t 2+3

4t

≥

3

2

，
∴cosθ≥

3

2

．

点评：本小题主要考查数量积判断两个平面向量的垂直关系、数量积表示两个向量的夹角、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于中档题．