Question

已知点P（2cosα，2sinα）和Q（ a，0 ），O为坐标原点．当α∈（0，π）时，
（Ⅰ）若存在点P，使得PO⊥PQ，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 如果a=-1，设向量与的夹角为θ，求证：cosθ≥．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先写出向量的坐标 ，，由题意可得 ，利用向量垂直的条件得到cosα=．利用-1≤cosα≤1即可求出实数a的取值范围；
（Ⅱ） 如果a=-1，=（-1-2cosα，-2sinα），利用向计算公式得夹角余弦值cosθ==，设，利用换元法即可求得其范围，从而得出cosθ≥．
解答：解：（Ⅰ） =（-2cosα，-2sinα），=（a-2cosα，-2sinα），
由题意可得 ，
∴（-2cosα，-2sinα）•（a-2cosα，-2sinα）=（-2cosα）•（a-2cosα）+4sin²α=0，
∴cosα=．    
当α∈（0，π）时，-1≤cosα≤1，∴-1≤≤1，
∴a≤-2，或 a≥2，故实数a的取值范围为 （-∞，-2]∪[2，+∞）．
（Ⅱ） 如果a=-1，=（-1-2cosα，-2sinα），
cosθ=== 
=
设，则cosα=，
∴=，
∴cosθ≥．
点评：本小题主要考查数量积判断两个平面向量的垂直关系、数量积表示两个向量的夹角、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于中档题．