【题目】已知函数f(x)= .
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若g(x)=xf(x)+mx在区间(0,e]上的最大值为﹣3,求m的值;
(3)若x≥1时,有不等式f(x)≥ 恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:易知f(x)定义域为(0,+∞), ,令f'(x)=0,得x=1.
当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数
(2)解:∵g(x)=1+lnx+mx, ,x∈(0,e],
①若m≥0,则g'(x)≥0,从而g(x)在(0,e]上是增函数,∴g(x)max=g(e)=me+2≥0,不合题意.
②若m<0,则由g'(x)>0,即 ,若
,g(x)在(0,e]上是增函数,
由①知不合题意.
由g'(x)<0,即 .
从而g(x)在 上是增函数,在
为减函数,
∴ ,令ln(
)=﹣3,所以m=﹣e3,
∵ ,∴所求的m=﹣e3
(3)解:∵x≥1时, 恒成立,∴k≤(x+1)f(x)=lnx+
+
+1,
令 ,
∴ 恒大于0,
∴h(x)在[1,+∞)为增函数,
∴h(x)min=h(1)=2,∴k≤2
【解析】(1)求出函数的定义域,函数的导数,求出极值点,判断导函数符号,然后求解单调区间.(2)求出 ,x∈(0,e],通过①若m≥0,②若m<0,判断函数的单调性,求解函数的最值,然后求m.(3)利用x≥1时,
恒成立,分离变量,构造函数
,利用函数的导数,求解函数的最值,推出结果即可.
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【题目】下表是某厂的产量x与成本y的一组数据:
产量x(千件) | 2 | 3 | 5 | 6 |
成本y(万元) | 7 | 8 | 9 | 12 |
(Ⅰ)根据表中数据,求出回归直线的方程 =
x
(其中
=
,
=
﹣
)
(Ⅱ)预计产量为8千件时的成本.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为
,直线y=k(x﹣1)与椭圆C交于不同的两点 M,N.
(1)求椭圆C的方程,并求其焦点坐标;
(2)当△AMN的面积为 时,求k的值.
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【题目】已知直线l1:(a-1)x+y+b=0,l2:ax+by-4=0,求满足下列条件的a , b的值.
(1)l1⊥l2 , 且l1过点(1,1);
(2)l1∥l2 , 且l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
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【题目】如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:
(1)求二面角D′-AB-D的大小;
(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.
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【题目】求圆心在直线 x 2 y 3 = 0 上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆C的方程.
(1)求圆心在直线 上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆C的方程.
(2)设 是圆C上的点,求
的最大值和最小值.
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【题目】已知椭圆 的左右顶点分别为A,B,点P为椭圆上异于A,B的任意一点.
(Ⅰ)求直线PA与PB的斜率之积;
(Ⅱ)过点 作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M,N两点.证明:以MN为直径的圆恒过点A.
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