Question

9．设函数y=$\frac{{x}^{2}-x+n}{{x}^{2}+1}$（n∈N^*）的最小值为a_n，最大值为b_n，且c_n=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{a}_{n}{b}_{n}+1}$．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）设T_n=$\frac{1}{{c}_{1}}$$+\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$，求证：2（$\sqrt{n+1}$-1）＜T_n＜2$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 （1）先整理出关于y的一元二次方程，再利用韦达定理便可求出a_nb_n，代入c_n的表达式中即可求出数列{c_n}的通项公式；
（2）利用放缩法和分母有理化即可证明．

解答 解：（1）由y=$\frac{{x}^{2}-x+n}{{x}^{2}+1}$，可得（y-1）x²+x+y-n=0，
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-n）≥0，即4y²-4（1+n）y+4n-1≤0，
由题意知：a_n，b_n是方程4y²-4（1+n）y+4n-1=0的两根，
∴a_n•b_n=$\frac{4n-1}{4}$
∴c_n=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{a}_{n}{b}_{n}+1}$=$\sqrt{n}$，
（2）证明：∵$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$），n≥2，
∴T_n=$\frac{1}{{c}_{1}}$$+\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$＜1+2（$\sqrt{2}$-1）+2（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+…+2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）
=1+2（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）=1+2（$\sqrt{n}$-1）=2$\sqrt{n}$-1＜2$\sqrt{n}$
∵$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=2（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$），
∴T_n=$\frac{1}{{c}_{1}}$$+\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$＞2（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）=2（$\sqrt{n+1}$-1），
综上所述2（$\sqrt{n+1}$-1）＜T_n＜2$\sqrt{n}$．

点评 本题主要考查数列与函数的综合运用，考查了放缩法，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．