Question

4．在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，∠BAD=120°，且$PA=AB=BC=\frac{1}{2}AD=2$．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线PB与平面PAD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （I）作CE⊥AB于E，则CE与AD相交，利用面面垂直的性质得出CE⊥平面PAB，于是PA⊥CE，结合PA⊥AD得出PA⊥平面ABCD；
（II）以A为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{PB}$和平面PAD的法向量$\overrightarrow{AF}$，于是|cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{AF}$＞|即为所求；
（III）分别求出平面PBC和平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$，计算cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞，则-cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞即为所求．

解答 解：（Ⅰ）证明：作CE⊥AB于E，
∵∠BAD=120°，∴CE与AD必相交，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，CE⊥AB，
∴CE⊥平面PAB，∵PA∈平面PAB，
∴CE⊥PA，
又PA⊥AD，CE?平面ABCD，AD?平面ABCD，CE与AD相交，
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）在平面ABCD内作AF⊥AD交BC于F，则AF，AD，AP两两垂直，
以A为原点，以AF，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（0，0，0），F（$\sqrt{3}$，0，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），P（0，0，2），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}$，-1，-2），
∵AF⊥平面PAD，∴$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{3}$，0，0）为平面PAD的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{AF}$＞=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{3}{2\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴直线PB与平面PAD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（Ⅲ）∵C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，4，0），
∴$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$，1，-2），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，3，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{PB}}\\{\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{BC}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PC}}\\{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{CD}}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x}_{1}-{y}_{1}-2{z}_{1}=0}\\{2{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x}_{2}+{y}_{2}-2{z}_{2}=0}\\{-\sqrt{3}{x}_{2}+3{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
令x₁=2得$\overrightarrow{m}$=（2，0，$\sqrt{3}$），令y₂=1得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，2）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{7}•2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$．
∵二面角B-PC-D为钝角，
∴二面角B-PC-D的余弦值为-$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用与空间角的计算，属于中档题．