Question

19．已知抛物线：x²=2y，过直线y=2x-3上任意一点P作抛物线的切线，切点分别为A，C
（I）求证：直线AC过定点M，并求出M点；
（Ⅱ）记直线AP，CP的斜率分别为k₁，k₂，若k₁•k₂=-2，求△ACP的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），C（x₂，$\frac{1}{2}$x₁²），P（x₀，y₀），可求切线PA，切线PB的方程，可得2x₀=x₁+x₂，2y₀=x₁x₂，设直线AC的方程是y=kx+b，代入x²=2y得x₀=k，y₀=-b，代入y₀=2x₀-3得-b=2k-3，从而可求直线AC的方程，即可得到定点；
（Ⅱ）由题意可得y₀=-1，求得P的坐标和直线AC的斜率和方程，代入抛物线的方程，可得交点A，C，由两点的距离公式可得|AC|，由点到直线的距离公式可求点P到直线AC的距离d，由三角形面积公式即可得解．

解答 （Ⅰ）证明：设A（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），C（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），P（x₀，y₀），
因为y′=（$\frac{1}{2}$x²）′=x，所以切线PA的方程是y-$\frac{1}{2}$x₁²=x₁（x-x₁），
即y+$\frac{1}{2}$x₁²=x₁x ①，同理切线PC的方程是y+$\frac{1}{2}$x₂²=x₂x ②
代入P（x₀，y₀），
由①②得$\frac{1}{2}$t²-x₀t+y₀=0，且x₁，x₂为方程的两根，
可得2x₀=x₁+x₂，2y₀=x₁x₂，显然直线AC存在斜率．
设直线AC的方程是y=kx+b，代入x²=2y得x²-2kx-2b=0，
所以x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，
即x₀=k，y₀=-b，③
代入y₀=2x₀-3得-b=2k-3，
可得直线AC的方程是y-3=k（x-2），恒过定点M（2，3）；
（Ⅱ）解：k₁•k₂=-2，可得x₁x₂=2y₀=-2，可得y₀=-1，
由y₀=2x₀-3，即有P（1，-1），
k_AC=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}$=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=x₀=1，
直线AC的方程为y-3=x-2，即为x-y+1=0，
代入抛物线x²=2y，可得x²-2x-2=0，
解得x=1±$\sqrt{3}$，
可得A（1+$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$），C（1-$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$）．
即有|AC|=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
由P到直线AC的距离为d=$\frac{|1+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
可得△ACP的面积为S=$\frac{1}{2}$d•|AC|=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{6}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，两点间距离公式，点到直线距离公式，直线的方程等知识的应用，属于中档题．