Question

7．设函数f（x）=1nx-ax，其中a为实数．
（1）若a=1，求证：f（x）≤-1恒成立；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上任意两点的连线段的斜率都小于4，求实数a的最小值；
（3）若方程f（x）=-$\frac{a-1}{2}$x²有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数判断出f（x）的单调性，求出f（x）的最大值即可得出结论；
（2）利用中值定理得出f′（x）＜4在（1，+∞）上恒成立，使用分离参数法求出a的范围即可；
（3）分离参数得a=$\frac{2lnx-{x}^{2}}{2x-{x}^{2}}$，求出右侧函数的值域即为a的取值范围．

解答 解：（1）证明：a=1时，f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1}{x}-1$．
∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，当x=1时，f′（x）=0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，
当x=1时，f（x）取得最大值f（1）=-1．
∴f（x）≤-1．
（2）∵函数f（x）在区间（1，+∞）上任意两点的连线段的斜率都小于4，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}-a$＜4在（1，+∞）上恒成立，即a＞$\frac{1}{x}-4$在（1，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{x}-4$，则g（x）在（1，+∞）上单调递减，g（1）=-3．
∴a≥-3．
即a的最小值为-3．
（3）由f（x）=-$\frac{a-1}{2}{x}^{2}$得lnx-ax+$\frac{a-1}{2}{x}^{2}$=0，∴a=$\frac{2lnx-{x}^{2}}{2x-{x}^{2}}$．
令h（x）=$\frac{2lnx-{x}^{2}}{2x-{x}^{2}}$，得h′（x）=$\frac{2（x-1）（2lnx-x-2）}{（2x-{x}^{2}）^{2}}$．
令m（x）=2lnx-x-2，则m′（x）=$\frac{2}{x}-1$，
∴m（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴m_max（x）=m（1）=-3＜0．∴m（x）=2ln-x-2＜0．
令h′（x）=$\frac{2（x-1）（2lnx-x-2）}{（2x-{x}^{2}）^{2}}$=0得x=1，
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1且x≠2时，h′（x）＜0．
∴h（x）在（0，1]上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递减．
∵h（1）=-1，当x→2⁺时，h（x）→+∞，当x→2^-时，h（x）→-∞，当x→+∞时，h（x）→1．
∴h（x）的值域为（-∞，-1]∪（1，+∞）．
∴实数a的取值范围是（-∞，-1]∪（1，+∞）．

点评 本题考查了导数与函数的单调性，函数最值的关系，导数的几何意义，属于中档题．