Question

17．在等比数列 {a_n}中，已知 a₁=3，公比 q≠1，等差数列{b_n} 满足b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
（1）求数列{a_n}与 {b_n}的通项公式；
（2）记 c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n+1）•3ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{b_n} 的公差为d，∵b₁=a₁=3，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
∴3+3d=3q，3+12d=3q²，解得q=3，d=2．
∴a_n=3ⁿ，b_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n+1）•3ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项和S_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n+1）•3ⁿ，
3S_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3×3+2×（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=3+2×$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=-2n3ⁿ⁺¹，
∴S_n=n3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．