Question

16．已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，PC⊥AB，若三棱锥P-ABC的外接球的半径是3，S=S_△ABC+S_△ABP+S_△ACP，则S的最大值是（　　）

• A． 36
• B． 28
• C． 26
• D． 18

Answer 1

分析 如图所示利用线面垂直的性质定理可得：PA⊥AC，PA⊥AB，又PC⊥AB，可得AB⊥平面PAC，AB⊥AC．设AP=x，AB=y，AC=z，可得x²+y²+z²=36．S=$\frac{1}{2}$yz+$\frac{1}{2}$xy+$\frac{1}{2}$xz，利用重要不等式即可得出．

解答 解：如图所示，
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，
又PC⊥AB，PA∩PC=P，
∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥AC．
设AP=x，AB=y，AC=z，
则x²+y²+z²=（2×3）²=36．
S=S_△ABC+S_△ABP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$yz+$\frac{1}{2}$xy+$\frac{1}{2}$xz≤$\frac{1}{2}×$（x²+y²+z²）=18，
当且仅当x=y=z=2$\sqrt{3}$设取等号．
则S的最大值是18．
故选：D．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、直角三角形面积计算公式、重要不等式的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．