Question

14．若数列{a_n}满足a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$（n∈N^*，n≥3），a₁=2，a₅=$\frac{1}{3}$，则a₂₀₁₆等于$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由题意求出数列的周期，得到a₂₀₁₆=a₆，从而求出答案．

解答 解：a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$（n∈N^*，n≥3），
∴a₃=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，即$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a₄=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$
∴a₅=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$，即a₃=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{5}}$=$\frac{3}{2}$，
∴a₂=3，
∴a₆=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{2}{3}$，
∴a₇=$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$=2，a₈=3，
故周期是6，2016÷6=336，
∴a₂₀₁₆=a₆=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$

点评 本题考查了数列的递推公式，找出规律是解题的关键，本题是一道基础题．